【数学の疑問】確率は掛け算で求める根本的な理由をストーリーで徹底解説!

なぜ確率は掛け算なのか?

このような疑問を持つのは、何もおかしいことではなく当然の疑問だと思います。

この疑問を持つ方は、確率の解き方ではなくもっと根本的な考え方を知りたい方だと思います。

では、そのもっと根本的な考え方を探す旅に出ましょう。

目次

旅の計画書を作ろう

旅に出る前にまずは、どのようなステップで目的を達成するか計画します。

STEP
確率の大前提を知る

基本的なことを知る

STEP
確率の捉え方を知る

ピザで確率を考える

あなたの選択で確率を考える

STEP
確率の根本的な考え方を知る

確率が掛け算である理由を知る

では、この計画書に沿って旅をしていきましょう。

確率の大前提を知ろう

私たちは旅の途中で、数学の勉強をしている二人の学生を見つけました。

確率って良くわからないわ

僕も分からなくなってきたよ
ピザを切り分けるように考えろって教えられたけどどういうことなんだろう?

私もそれは思ったわ
そもそも確率って何なのかしら?

彼女らのようにピザを切り分けるように確率を考えようと教えられたことはありませんか?

このピザを切り分けるように考えるというのは、少し補足情報がないと理解できないと思います。

では少し情報を補足します。

ピザ一枚を全ての確率の合計と捉えて1(100%)とする

このことを理解するためにまずは、ピザを八等分にした時どのように切り分けられているのか想像してみてください。

上の画像は少し食べられてしまっていますが、このような切り分け方をされたピザを想像されたと思います。

では、今度は切り分けたピザを繋げてみましょう。

想像できましたか?

ピザを切り分けても誰かがつまみ食いしない限り一枚分のピザは存在しますよね。

これが確率は掛け算である理由を考える上で抑えておかないといけない大前提になります。

ここで、なぜ1とするのか疑問に思われるかもしれませんが、例えば確率の合計が2.8だったとしましょう。なんだか分かりにくくありませんか?つまり、わかりやすく考えるために確率の合計は1なのです。

ピザの一切れは可能性の一つ?

では、これからも確率をピザで考えるのは少し分かりにくくなることがあるので、ピザの一切れ一切れの意味を考えて直接的に確率を理解できるようになりましょう。

丁度いいところで先ほどの学生が先生と会話しているのを見つけました。

先生!確率の合計は1というのは分かりました。でも、一切れ一切れが何を意味しているのか分かりません。

いい質問ですね。
実はその一切れは可能性の一部なんですよ。

可能性の一部?

先生はピザの一切れを可能性の一部だと言っていますね。

可能性というのは、起こるかもしれないということです。

この時に考えたいのはピザの状態です。

起こるかもしれないということは、まだ起こっていないということです。

つまり、まだピザは切られておらずあなたが行動して初めて切られるのです。

だから先生は、ピザの一切れは可能性の一部だと言ったわけですね。

ここで抑えておきたいポイントしては、

ピザの一切れはこれから起こるかもしれない可能性の一部である

ということです。

そして、その可能性を観測するのは行動する前のあなたであり、その可能性の分岐を移動するのもあなた自身なのです。

世界は確率でできている

世界は確率でできていると言っても過言でないほど、人々は日々行動を選択して生きています。

ということで、簡単な選択を用意しました。

右手を挙げるか左手を挙げるか選択してください。

選択しましたか?

選択したあなたは、選択した後のあなたになったわけです。

ですので、もう一度戻って選択しても一度選択した事実は変わりません。

ですが、これはただの思考実験的なものなので、基準を置き換えるか行動をリセットすることで元に戻ることができます。

つまり、確率を考える上で大切なことは、基準をどこにおくかということです。

ここでの基準というのは、ピザで言うところのピザ一枚、またはあなたが選択する前の状態のことを言います。

もちろん問題によって基準というのは変化するので、その都度基準を把握することが重要です。

確率は掛け算である理由

ここまで旅をしてきて、なぜ確率は掛け算なのかの説明はしてきませんでしたね。

ですが、実はこれまでの旅の中でヒントがありました。

それは、確率の合計は1、基準をどこにおくかを考えることを合わせて考えれば分かります。

あなたは、旅の途中で右手を挙げるか左手を挙げるか選択しましたね。

どちらかを選ぶだけだから確率は、右手を挙げる:0.5、左手を挙げる:0.5というのは納得できると思います。

でも、右手を挙げてから親指を選択した時の確率が、どの指を選ぶかは等確率だとして0.5×0.2=0.1とされると納得いかないですよね。

では、どちらの手を挙げるかの確率を挙げる前の状態(基準)から考えて、1×0.5=0.5と表すとどうでしょうか。同じことを言っているだけなので納得できると思います。

つまり、基準というのは計算式で表すときに省略されているだけで、実はあなたは確率が掛け算で表すことを知らず知らずの内に行っていたということです。

右手を挙げてから親指を選択する確率も1×0.5×0.2=0.1ということだったのです。

1×0.5のところは分かったが、0.5×0.2のところはなぜ掛け算なのか?

このような疑問を持つ方もいると思います。

なぜなのか?それは、0.5の時点で右手を選択した時の状態だからです。

今回の基準は右手を挙げる前であり、右手を挙げた時の状態は0.5の確率で起こりえる世界と言えます。

つまり、疑似的に基準が移動したとも言えて、そこから親指を選ぶわけなので(×)0.2となるのです。

基準を考えれば確率は掛け算である理由が見えてくる!

最後に

ここまで一緒に旅をしてきてあなたの疑問は解決できたでしょうか?

あなたの疑問が解決できたことを願っています。

確率を扱えるようになれば、この世のことが少し違って見えてくるかも。

では、またの機会に。

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